Как зарядить аккумулятор ноутбука

Для начала в вашей акб нетипичные 18650, а полноценные плоские Li-ion батареи что полностью меняет правила игры (ремонта).
Ваш контроллер залочился аппаратно при переразряде (это нормально), можно искать только чип контроллера и перепаять.
1. Нет, ебанёт. Или вообще не будет заряжаться.
2. Можно, ибо уже бабахнуло.
3. Обычно ноут может работать без подключенной акб от сетевого питания.

Зарядкой лития должен заниматься контроллер, ручная зарядка фиксированным напряжением и током вредна и опасна

Если вы считаете себя человеком способным провести ремонт (что возможно крайне опасно):
1. Вскрываете корпус батареи не повреждая сами аккумуляторы.
Предположительно их 2 или 4 шт.

Дальше даже не хочу писать из соображений безопасности. P.S. новая батарея стоит около 2к.

Сам себе на уме ноутбук в стационарном состоянии: экран, тачпад. клавиатура сломались. подключил внешний монитор, мышь и клаву.
В этом случае я бы очень хорошо подумал, а стоит ли вкладывать деньги и силы в его ремонт. И скорее всего пришёл бы к решению - не стоит.

Распиновку/Datasheet не нашел Цвета такие: 3 черных. желтый, белый, 3 красных.
Жёлтый и белый - линия передачи данных между контроллером батареи и компом (контроллер сигналит о степени заряда, температуре и т.п.), на зарядку она нее влияет. Чёрный и красный - это, естественно, минус и плюс, и я полагаю, через них не только снимается ток нагрузки, но и подаётся зарядный ток. Если бы была уверенность в том, что контроллер работоспособен, зарядку через эти выводы можно было бы проверить экспериментально. Но у вас, как я думаю, такой уверенности нет. Контроллер батареи выполняет кучу функций (защита от перезаряда, от переразряда, от перегрузок по току при заряде и разряде, от перегрева, и балансировка), и в таком случае для вас наиболее критичной является последняя - балансировка, т.е. слежение за тем, чтобы оба элемента батареи были в одинаковом состоянии.

У меня имеется универсальная зарядка для ноутбука. Ее можно переключить на 12В. Если взять преобразователь напряжения с 12 на 7,5 и напрямую подключить к аккумулятору, то: 1)Будет ли аккумулятор заряжаться?
Так делать нельзя, даже если покажется, что всё ОК. Фактически вы предлагаете эксплуатировать литиевый аккум без контроллера - и кто тогда будет заниматься вышеперечисленными защитами? Литий - это не кислотная АКБ, которая в случае неприятностей всего лишь выкипит, литий взрывается или горит. Поэтому работоспособный контроллер просто неизбежен.
Теперь о том, как решать задачу. Лучше всего сделать отвод от середины батареи (т.е. точки последовательного соединения её элементов) и подключить на эти три вывода внешний контроллер. Найти его несложно по ключевым словам "BMS 2S", на Али таковых предлагается много. У него должен быть вход заряда - туда и подключите источник зарядного тока с напряжением на 2...3 вольта больше максимального напряжения батареи - в этом случе это 9...10 вольт. Далее проведёте пробный заряд-разряд под собственным приглядом, контролируя напряжение элементов мультиметром (BMS должен не допустить повышения напряжения элементов более 4,15 вольт, и снижения ниже 3,0 вольт, и напряжения обоих элементов должны оставаться одинаковыми), и после такого, если все нормально, можно и без пригляда.

литиевый аккумулятор заряжается по системе CC/CV - Constant Current + Constant Voltage.
т.е. ограничивается ток заряда, чтобы не перегреть аккумулятор. и ограничивают напряжение на аккумуляторе, ибо превышение этого напряжения убивает химию внутри аккума плюс возможно возгорание аккумулятора.
максимальный ток зарядки обычно берут 0,1 ... 0,5 С (и до 1,0 С для быстрой зарядки, где C - емкость аккума )
0,5 * 5136 =~ 2500 ма. т.е. спокойно можно заряжать током до 2,5 А. но выбери поменьше - ббудет спокойнее.
напряжение окончания зарядки - 4,2 в на элемент. у тебя их два, значит заряжать нужно до 8,4 вольта. превышение даже на 0,2 В можно серьезно угробить аккум. поэтому если не уверен вкачестве зарядника возьми напряжение 8,2 В.
1) условия зарядки я описал выше.
2) да можно, литиевый аккум не имеет "эффекта памяти", поэтому его можно разряжать/заряжать как угодно.
в таком случае если ток выдаваемый зарядкой ббудет выше тока потребления нота - то аккум будет заряжаться. если наоборот то разряжаться.
3) питай ноут через стандартный разъем питания. аккум заряжай отдельно.

в целом можно взять блок питания с регулируемым выходным напряжением на 5-10 ватт и заряжать аккум от него. главное чтобы напряжение держал точно и было ограничение по току.

1)Будет ли аккумулятор заряжаться?
Зависит от контроллера в аккумуляторе.

Если будет, то можно ли в это время включать ноутбук?
Без аккумулятора, от сети - можно.

Если аккумулятор не будет заряжаться, то будет ли при такой схеме запускаться ноутбук?
Зависит от ноутбука, как правило без проблем работает от сети.