Как подключить проектор к телевизору

Проектор проецирует то изображение, которое к нему поступает от источника. Подключи ТВ тюнер покажет и ТВ.

Да. В двух случаях:
1. К проектору подключен внешний тюнер (приставка, приемник, плеер и т. д.)
2. Проектор уже имеет встроенный тюнер (у меня такой)

Нет. У него нет телеприёмника.

Проектор - это просто разновидность монитора. Он показывает то, что ему присылает компьютер. А смотреть телевидение на компьютере ты можешь тремя способами: либо установив в него видеокарту с телевизионным тюнером, либо подав компьютеру видео-сигнал через цифровой вход от внешнего принимающего устройства (тарелки, телевизора, декодера и т. п.), либо, наконец, зайдя на сайт, транслирующий телепередачи онлайн.
Также, если видеосигнал уже сформирован где-то на стороне (тем же телевизором, например), то можно подать этот сигнал проектору, и не использовать компьютер совсем. Наконец, проектор может и сам иметь встроенный тюнер, и в этом случае - вход для антенны или цифрового телесигнала. Я лично таких проекторов не видел, но почему бы им не быть...